Średnia arytmetyczna

szereg szczegółowy

(eq.1)

 gdzie: n - liczebność zbiorowości próbnej (próby), x_i - wariant cechy. Jest to tzn. średnia nieważna (prosta) - stosowana dla szeregów szczegółowych.

 Średnia arytmetyczna ważona

szereg rozdzielczy punktowy	(eq.2)
szereg rozdzielczy z przedziałami klasowymi	(eq.3)

 gdzie: oznacza środek przedziału klasowego

Średnia arytmetyczna (średnia ważona) dla r-grup łącznie oraz średnich arytmetycznych cząstkowych i liczebności i-tej grupie n_i:

gdzie jest sumą liczebności we wszystkich r-grupach.

Podstawiając w miejsce n_i wskaźnik struktury w_i otrzymamy zależności:

lub

Wybrane właściwości średniej arytmetycznej 

• suma wartości cechy jest równa iloczynowi średniej arytmetycznej i liczebności zbiorowości: lub dla szeregu rozdzielczego ,

• średnia arytmetyczna spełnia warunek: ,
• suma odchyleń poszczególnych wartości cechy od średniej równa się zero: lub ,
• Suma kwadratów odchyleń poszczególnych wartości cechy od średniej jest minimalna: lub ,
• średnią arytmetyczną można liczyć w zasadzie dla szeregów o zamkniętych przedziałach klasowych; jeżeli liczebność w otwartym przedziale klasowym stanowi niewielki odsetek, (praktycznie do 5%) możliwe jest domknięcie przedziałów klasowych oraz obliczenie średniej w innym przypadku do określenia zjawiska stosuje się parametry pozycyjne,
• średnia arytmetyczna jest wrażliwa na skrajne wartości cechy,
• średnia arytmetyczna z próby jest dobrym przybliżeniem wartości przeciętnej.

Średnia harmoniczna

szereg szczegółowy
szereg rozdzielczy

Przyjmując, że waga oraz :

Średnia geometryczna

 Modalna

Dla szeregów szczegółowych oraz szeregów rozdzielczych punktowych modalna odpowiada wartości cechy o największej liczebności (częstości).

W szeregach rozdzielczych z przedziałami klasowymi bezpośrednio można określić tylko przedział, w którym modalna występuje, jej przybliżoną wartość wyznacza się graficznie z histogramu liczebności (częstości) lub ze wzoru interpolacyjnego:

gdzie:

m - numer przedziału (klasy), w którym występuje modalna,

- dolna granica przedziału, w którym występuje modalna,

n_m - liczebność przedziału modalnej, tzn. klasy o numerze m,

n_m-1; n_m+1 - liczebność klas poprzedzającej i następnej, o numerach m – 1 i m + 1,

h_m - rozpiętość przedziału klasowego, w którym występuje modalna.

 Kwantyle

Kwartyl drugi (mediana Me)

Dla szeregu szczegółowego 

Dla szeregu rozdzielczego (graficznie lub analitycznie)

gdzie:

m - numer przedziału (klasy), w które występuje mediana,

- dolna granica przedziału, w którym występuje mediana

n_m - liczebność przedziału mediany, tzn. klasy o numerze m, 

- suma liczebności przedziałów poprzedzających przedział mediany, czyli liczebność skumulowana,

h_m - rozpiętość przedziału klasowego, w którym jest mediana,

N_Me - pozycja mediany, czyli 

Kwartyl pierwszy Q₁ i trzeci Q₃

Dla szeregu szczegółowego kwartyl pierwszy i trzeci wyznacza się w ten sposób, że w dwóch częściach zbiorowości, które powstały po wyznaczeniu mediany, ponownie  wyznacza się medianę; mediana w pierwszej części odpowiada kwartylowi pierwszemu, a w drugiej kwartylowi trzeciemu.

Dla szeregu rozdzielczego wyznaczenie kwartyli poprzedza się ustaleniem ich pozycji:

Kwartyl pierwszy Q₁

Kwartyl trzeci Q₃

gdzie:

m - numer przedziału (klasy), w którym występuje odpowiadający mu kwartyl,

- dolna granica tego przedziału,

n_m - liczebność przedziału, w którym występuje odpowiedni kwartyl,

- liczebność skumulowana do przedziału poprzedzającego kwartyl,

h_m - rozpiętość przedziału klasowego, w którym jest odpowiedni kwartyl.

 Rozstęp

Wariancja

szereg szczegółowy
szereg rozdzielczy punktowy
szereg rozdzielczy z przedziałami klasowymi

Wykonując proste przekształcenia algebraiczne, otrzymamy:

szereg szczegółowy
szereg rozdzielczy

 Odchylenie standardowe, odchylenie przeciętne

Typowy obszar zmienności cechy - około 2/3 wszystkich jednostek badanej zbiorowości statystycznej posiada wartości cechy w tym przedziale:

Odchylenie przeciętne

szereg szczegółowy
szereg rozdzielczy

Pomiędzy odchyleniem przeciętnym i standardowym, dla tego samego szeregu, zachodzi relacja: d < s.

Odchylenie ćwiartkowe

Typowy obszar zmienności cechy:

Współczynnik zmienności

Klasyczne współczynniki zmienności:

oraz

Pozycyjne współczynniki zmienności:

oraz

Współczynnik zmienności stosuje się w porównaniach zróżnicowania:

• kilku zbiorowości pod względem tej samej cechy,

• tej samej zbiorowości pod względem kilku różnych cech.

Rozkłady różnią się między sobą kierunkiem i siła asymetrii (miary klasyczne):

• dla szeregów symetrycznych

• jeżeli asymetria prawostronna

• jeżeli asymetria lewostronna.

Wskaźnik skośności - jest to wielkość bezwzględna wyrażona jako różnica między średnią arytmetyczną a modalną

Wskaźnik skośności można wyznaczyć również przy pomocy miar pozycyjnych:

• w rozkładzie symetrycznym:

• przy asymetrii prawostronnej:

• przy asymetrii lewostronnej:

klasyczneoraz
pozycyjny

Pozycyjny współczynnik asymetrii określa kierunek i siłę asymetrii jednostek znajdujących się miedzy pierwszym z trzecim kwartylem.

gdzie:

szereg szczegółowy
szereg rozdzielczy

Jeżeli przyjmiemy, że zbiorowość ma rozkład normalny, to K = 3, są bardziej spłaszczony rozkład od normalnego ma K < 3, a brdziej wysmukły K > 3. Stąd: