Jeśli trafiłeś (trafiłaś) tu nie ze strony głównej, idź na stronę główną>>ekonometria

Rozkłady

Poissona

Używamy, gdy prawdopodobieństwo zajścia danego zdarzenia jest mniejsze niż 0,2 (P<0,2) i gdy jednocześnie ilość elementów jest równa lub większa od 20 (n>=20).

P(X=k) = (m^k · e^-m) / k!

gdzie:

k – wartość zmiennej losowej X

m – wartość oczekiwana

k! –silnia z k

Wzory dodatkowe:

Wartość oczekiwana – m=E(x)=n · P

Przykład:

Co 20 wyrób jest zły, oblicz prawdopodobieństwo, że wśród 120 wylosowanych są 4 złe wyroby: P(X=4) = (6⁴· e^-6) / 4! = 3,212 / 24 = 0,134. W przypadku gdy w treści mamy podany przedział np. więcej złych wyrobów niż 3, ale mniej niż 7 wtedy liczymy i dodajemy każdy element z przedziału: P(3>X>7) = P(X=4)+P(X=5)+P(X=6).

Powyższe zadanie rozwiązaliśmy za pomocą rozkładu Poissona zgodnie z założeniami, ponieważ: P=0,05, n=120. E(X)=0.05 · 120 = 6.

Geometryczny

P(X=k) = p · q^k-1

gdzie:

k – wartość zmiennej losowej X

p – prawdopodobieństwo sukcesu

q – prawdopodobieństwo porażki

Wzory dodatkowe:

Wartość oczekiwana – E(X)=1/p

Wariancja – V(X)=q/p²

Odchylenie - s=pierwiastek z V(X)

Przykład:

Co 5 los jest wygrywający. Oblicz prawdopodobieństwo, że dopiero za 6 razem wylosujemy wygrywający los:

p=0,2; q=0,8; k=6

P(X=6) = 0,2 · 0,8⁵ = 0,065

Normalny

P(X=k) = T = (X-m) / s

gdzie:

X – zmienna losowa (wartość k)

m – wartość oczekiwana E(X)

s - odchylenie (pierwiastek z V(X))

Wzory dodatkowe:

E(X) = X · P

V(X) = n · p · q

Rozkład normalny oznaczamy także tak: N(E(X), s)

Wykładniczy

Funkcja gęstości:

/ 0 dla x<0

f(x)=<

\ le^-2x dla x>=0

Dystrybuanta:

/ 0 dla x<0

F(x)=<

\ 1-e^-2x dla x>=0

gdzie:

l - współczynnik Lambda = 1/E(x)

Dodatkowe wzory:

E(x) = 1/l

V(x) = 1/l²

Mediana Me = ln0,5 / l

Przykład:

Czas oczekiwania ma rozkład wykładniczy i E(x)=0,5. Oblicz prawdopodobieństwo, że czas oczekiwania będzie większy od 1.

P(X>1) = 1-e^-2x1=0,865.

Dwumianowy

P(X=k) = C_n^k · p^k · q^n-k

gdzie:

C_n^k – kombinacja – wzór: n! / (n-k)!· k!

Dodatkowe wzory:

E(x)=n · p

V(x)=n · p · q

Przykład:

W grupie studentów 20% jest wysokich. Oblicz prawdopodobieństwo, że gdy wybierzemy 5 to 3 z nich będzie wysokich:

P(X=3) = C₅³ · 0,2³ · 0,8² = 0,05.

Jednostajny

Oznaczamy: Xà[a,b].

Dystrybuanta:

/ 0 dla x<a

F(x)=<

\ (x-a)/(b-a) dla a<=x<=b

\ 1 dla x>b

Funkcja gęstości:

/ 0 dla x<a

f(x)=<

\ 1/(b-a) dla a<=x<=b

\ 0 dla x>b

Dodatkowe wzory:

E(x) = (a+b)/2

V(x) = (b-a)²/12