Modele analityczne

Metoda analityczna polega na znalezieniu funkcji trendu , która spełaniajć zadane kryteria optymalnie dopasuje się  do  szeregu czasowego zmiennej którą prognozujemy .Oceniając dopasowanie modelu do danych rzeczywistych używamy najczęściej współczynnika determinacji , który mówi w ilu procentach zmienność y jest wyjaśniana przez model .Ważną kwestią jest  dobór odpowiedniej  postaci analitycznej funkcji trendu.

Najprostszą i zarazem najpowszechniejszą postacią funkcji trendu jest funkcja liniowa:

która przedstawia funkcję prostej a , wyznaczony parametr  jest właśnie współczynnikiem kierunkowym tej prostej  .Parametr beta prezentuje  stały  przyrost wartości zmiennej prognozowanej y w ciągu roku, miesiąca, kwartału , dnia lub jednostki czasu naszego szeregu. Nie zawsze model liniowy dobrze odzwierciedla zmiany w czasie pewnego nadanego zjawiska Jeśli np. sprzedawca wprowadza w śorkachmasowego przekazu silnąkampanię reklamową  to tempo sprzedaży jego produktów jest znacznie wieksze niz opisuje to trend liniowy i wtedy stosujemy inne postacie jak na przykład:

a) funkcję wykładniczą o postaci:

 e   > 0,

lub

    > 1.

Właściwością tej funkcji jest stopa wzrostu wynosząca:  [dla modelu pierwszego]

i [dla modelu drugiego];

b) wielomian stopnia drugiego (parabola):

                > 0

Zaletą tej funkcji jest jej duża elastyczność, wynikająca z posiadania trzech parametrów. Dzięki temu funkcja ta dobrze sie dopasowuje lepiej odzwierciedlając różne nieliniowe tendencje rozwojowe;

 c) potęgową:

       > 1.

Funkcja ta przydaje sie zwłaszcza  do opisu tendencji rozwojowych, które po logarymowaniu wykazują przebieg liniowy. W sytuacji, w których wzrost wartości zmiennej y przebiega coraz wolniej i potem do pewnego poziomu, stosuje sie   funkcje o malejącym tempie wzrostu.

Wśród wielu do zastosowania tego typu funkcji,  można wymienić :

a) logarytmiczną

                   > 0

b) potęgową

,            0 <  < 1

o wykładniku dodatnim ułamkowym czyli większym od zera i jednoczesnie mniejszym od jedności;

c) wielomian (parabola o wykładnikach ujemnych)                                            ,     < 0

d)wielomian stopnia drugiego zwykły (parabola)

 ,            <  0

W przypadku zaś gdy wzrost zwalnia  i zdąża do pewnego poziomu - mozna zastosować funkcję liniowo-odwrotnosciową:

                                               ,          < 0

mającą asymptotę poziomą zobrazowaną  przez parametr  , oraz ilorazową:

,            , > 0,

która przedstawia stosunek dwóch funkcji liniowych. Jej wykres jest bardzo podobny do funkcji liniowo-odwrotnościowej (ma asymptotę poziomą ), lecz cechuje go większa bardziej elastyczność, oraz lepiej odzwierciedla  przypadki wklęsłości.  Obserwując przebieg zjawisk w dłuższych okresach,  często widoczne są nie tylko poszczególne fazy ich rozwoju, ale także cały przebieg cyklu rozwojowego W takim wypadku  w opisie tendencji rozwojowych pierwszych trzech faz tych zjawisk można się posłużyć zamiast kilkoma funkcjami które są odpowiednie dla tych poszczególnych faz cyklu rozwojowego tylko jedną, ale za to o bardziej złożonej postaci analitycznej zarówno pod względem liczby parametrów a także posobu ich powiązań ze zmienną czasową np  funkcją logistyczną która ma postać:

,     ,> 0,     > 1.

Do punktu przegięcia ( o współrzędnych  dla zmiennej czasowej oraz  dla zmiennej ) funkcja rośnie w tempie przyspieszonym, po czym rośnie w tempie malejącym do asymptoty poziomej (poziomu nasycenia)- .

Jeżeli zjawisko charakteryzuje się stałym, nieograniczonym wzrostem, z malejącym do zera tempem wzrostu, to do opisu i prognozowania jego  przebiegu można wykorzystać funkcje loglogistyczną mającą postać:

             > 0        > 0

Funkcja ta rośnie nieograniczenie, jej pochodna zaś, wyrażająca tempo jej wzrostu, dąży do zera.

Parametry wymienionych funkcji można szacować różnymi metodami. Najczęściej stosowaną metodą estymacji tych wielkości, klasyczna metoda najmniejszych kwadratów, umożliwia oszacowanie parametrów  tych funkcji, z wyjątkiem funkcji liniowej  i wielomianu stopnia drugiego  - po pewnych przekształceniach (transformacji). Polegają one na zlogarytmowaniu bądź odwróceniu i (lub) zastosowaniu określonych podstawień. W celu uzyskania liniowej postaci modelu, którego parametry mogą być szacowane klasyczną metodą najmniejszych kwadratów, należy np. w przypadku funkcji:

a)      logarytmicznej () podstawić  co prowadzi do modelu:

+;

      b) ilorazowej odwrócić ją:

 i podstawić:

,    ,    ,    ,

w wyniku czego otrzymuje się funkcję:

;

c) potęgowej  z1ogarytmować obie strony równania, w wyniku czego otrzymuje się model:

,

a następnie dokonać podstawień:

,    ,    ,

w których wyniku uzyskuje się model:

.

Oceny parametrów  i  (a i b) bądź są takie, jakie występują w funkcji pierwotnej (oba parametry funkcji logarytmicznej, parametr  w funkcji  potęgowej), bądź uzyskuje się je przez przekształcenia odwrotnie niż w trakcie i transformacji modelu (oba parametry funkcji ilorazowej: , ) lub przez delogarytmowanie (parametr  funkcji potęgowej).

W celu oszacowania nieznanych ocen wartości parametrów modeli (liniowych lub zlinearyzowanych) za pomocą klasycznej metody kwadratów można rozwiązać odpowiedni układ równań normalnych bądź użyć wzorów:

,        ,

gdzie:                             

,             ,

Kiedy dokonamy wyboru postaci funkcji trendu i wyznaczymu oceny jej parametrów dokonujemy  oceny jakości otrzymanego modelu.

Aby model nadawał się do budowy prognoz trzeba założyć:

1. stabilność relacji strukturalnych w czasie, czyli   postać analityczna modelu, jak i wartości oceny jego parametrów nie ulęgają  zmianie w przedziale czasu, dla którego wyznacza się prognozę, (np test Chowa)

2. stabilność rozkładu składnika losowego, (badamy reszty modelu) umożliwiającą ocenę błędu ex ante prognozy.

Przyjęcie powyższych  założeń określa sposób sporządzenia prognozy  i ocenę jej jakości w postaci błędów ex ante. Stanowi to podstawę do akceptacji pasywnej postawy prognosty  i zazwyczaj stosuje się stosowane przy budowie prognoz krótkookresowych.  Przez kstrapolacje funkcji trendu obliczamy przyszłą wartość zmiennej y czyli podstawiając do modelu w miejsce zmiennej czasowej numeru przyszłego okresu - , na który oblicza się prognozę:

,          >

Taka  wielkość to prognoza punktowa a jej oceną jest  błądu prognozy ex ante.  Przeważnie  oprócz  prognozy punktowej konstruuje się prognozę przedziałową  czyli przedział liczbowy, do którego z góry zadanym prawdopodobieństwem , np0,95 zwanym wiarygodnością prognozy, będzie należeć będzie przyszła wartość prognozy. Jest wiele sposobów na budowę przedziału prognozy. Najczesciej buduje się go w sposób symetryczny wokół średniej (wartości oczekiwanej) prognozowanej , tj. wyznaczonej na okres  prognozy : 

gdzie:

 - jest współczynnikiem związanym z wiarygodnością prognozy, rozkładem zmiennej (np normalnycm lub t-Studenat) prognozowanej oraz długością szeregu czasowego (u >0),

 P- wiarygodność prognozy.

Jeśli w procesie weryfikacji hipoteza o normalnym rozkładzie reszt modelu została przyjęta, to wartość współczynnika u odczytujemy się z tablic rozkładu normalnego (dla n > 30) lub z tablic rozkładu -Studenta dla n- 2 stopni swobody i prawdopodobieństwa . Jeżeli  zaś hipoteza ta została odrzucona lub nie była zweryfikowana, to wartość współczynnika u może być np wyznaczona z nierówności Czebyszewa:

,

gdzie:

 -wartość oczekiwana zmiennej prognozowanej ,

- odchylenie standardowe zmiennej prognozowanej .

Jeżeli przyjmujemy że rozkład reszt modelu jest normalny, to współczynnik u jest mniejszy niż przy korzystając z nierówności Czebyszewa; węższy jest zatem przedział prognozy, czyli dokładniejsza jest jej precyzja. Na szerokość przedziału prognozy wpływa też wielkość błędu prognozy ex ante () oraz wiarygodność prognozy (p). Jeśli zmienna prognozowana wyraża zmiany jakościowe, należy astosować metodę ekstrapolacji z tzw. poprawką która polega na  na dodaniu do prognozy ,  ostatniej reszty wyznaczonej na podstawie modelu lub średniej z kilku ostatnich reszt naszego modelu.

Mapa strony ekonometria.4me.pl

Copyright © ekonometria.4me.pl 2005-2013. Wszelkie prawa zastrzeżone. Zabrania się kopiowania, redystrybucji, publikacji lub modyfikacji jakichkolwiek materiałów zawartych na stronie internetowej , bez wcześniejszej pisemnej zgody autorów.

Metoda Wintersa addytywna