Predykcja na podstawie modelu tendencji rozwojowej

Tradycyjny model tendencji rozwojowej jest ekonometrycznym modelem jednorównaniowym, o stałej w czasie postaci analitycznej i o jednej tylko zmiennej objaśniającej (lepiej powiedzieć: zmiennej niezależnej). Tą zmienną jest zmienna czasowa t lub jej funkcje.[1] Predykcję na podstawie modelu tendencji rozwojowej stosujemy wtedy, gdy:

1.      dla zmiennej prognozowanej można wyodrębnić trwałą tendencję rozwojową (tzw. istnieje empirycznie stwierdzona „wewnętrzna dynamika” tej zmiennej) i istnieje sprawdzony wielokrotnie model tendencji rozwojowej;

2.      nie można wprost wskazać zbioru zmiennych objaśniających, które stanowią przyczyny zmienności zmiennej prognozowanej lub nie jest możliwe zbudowanie wystarczająco dobrego modelu przyczynowo-skutkowego;

3.      system stanowiący "otoczenie" zmiennej prognozowanej jest stabilny i będzie taki w okresie prognozowania - jest to podstawowy warunek zachowania stałości wewnętrznej dynamiki zmiennej prognozowanej;

4.      chcemy wyznaczyć prognozę o horyzoncie czasowym krótko- lub średniookresowym - model tendencji rozwojowej nie może być predykatem w predykcji długookresowym.

Predykcja na podstawie liniowego modelu tendencji rozwojowej (przykład)

Liniowa tendencja rozwojowa to najprostszy przypadek dynamiki zmiennej prognozowanej. W zamieszczonym tutaj przykładzie zmienną prognozowaną jest y_t - roczne wydobycie węgla kamiennego w pewnej kopalni (w tys. ton), dla której dysponujemy n = 11 danymi empirycznymi, tworzącymi szereg czasowy okresów (kolumny "DANE" w poniższej tabeli).

Należy oszacować model - liniową funkcję trendu:

y_t = a₀ + a₁ · t + u_t

gdzie:

a₀ - teoretyczna wielkość wydobycia dla t = 0, czyli w 1986 roku,

a₁ - średni roczny przyrost bezwzględny wydobycia.

u_t - składnik losowy modelu.

Wprowadzamy dodatkowe oznaczenia:

a₀ - estymator parametru a₀,

a₁ - estymator parametru a₁.

Powyższa tabela zawiera część wyników obliczeń związanych z szacowaniem parametrów liniowego modelu tendencji rozwojowej. Jeżeli zastosujemy wzory macierzowe MNK, to najważniejsze - dla weryfikacji parametrów strukturalnych modelu i prognozowania na jego podstawie - macierze mają następującą postać:

·        wektor kolumnowy estymatorów parametrów strukturalnych...

·        macierz wariancji i kowariancji...

·        wektor kolumnowy błędów szacunku parametrów strukturalnych...

Otrzymujemy zatem model oszacowany:

 = 158,92 (ocena średniej arytmetycznej zmiennej prognozowanej)

S² = 3,622 (ocena wariancji składnika losowego)

S = 1,903 (ocena odchylenia standardowego składnika losowego)

V_S = 1,20% (współczynnik zmienności losowej)

j² = 0,0072 (współczynnik zbieżności)

R² = 0,9928 (współczynnik determinacji)

R = 0,9964 (współczynnik korelacji wielokrotnej)

Ocena i komentarz na temat przydatności predykcyjnej modelu są raczej zbędne - model bardzo dobrze opisuje 11-letnią dynamikę zmiennej prognozowanej. Przystępujemy więc do prognozowania.

1^o. Wyznaczyć prognozy punktowe wielkości wydobycia w latach 1998 (czyli T = 12) i 1999 (czyli T = 13).

Zadanie jest niezwykle łatwe, gdyż w oszacowanym modelu, w miejsce zmiennej czasowej (t) należy podstawić odpowiednią wartość T - i tak:

y₁₉₉₈ (dla T=12) = 120,436 + 6,414*12 = 197,400

y₁₉₉₉ (dla T=13) = 120,436 + 6,414*13 = 203,814

2^o. Obliczyć błąd średni obu predykcji.

Jeżeli zastosujemy poznane wcześniej - patrz: "Predykcja na podstawie liniowego modelu przyczynowo-skutkowego" - wzory na wariancję predykcji (V²) i błąd średni predykcji V, to otrzymamy następujące oceny efektywności predykcji na lata 1998 i 1999:

... co czytamy następująco:

·        prognozując, że w 1998 roku wydobycie węgla wyniesie 197,400 tys. ton, mylimy się in plus / in minus o 2,266 ton;

·        prognozując, że w 1999 roku wydobycie węgla wyniesie 203,814 tys. ton, mylimy się in plus / in minus o 2,359 ton.

Możemy jednak, ale tylko w przypadku liniowego modelu tendencji rozwojowej, zastosować uproszczone formuły obliczania wariancji i średniego błędu predykcji, podane przez prof. Bartosiewicz:

gdzie:

 - ocena wariancji predykcji,

 - ocena średniego błędu predykcji,

S² - ocena wariancji składnika losowego predyktora.

Wystarczą proste podstawienia:

n = 11 (liczba obserwacji),

 = 6,

= 110

i otrzymujemy...

Predykcje przedziałowe na podstawie liniowego modelu tendencji rozwojowej wykonuje się tak samo, jak w przypadku modelu przyczynowo skutkowego. Wszystkie przedstawione wcześniej uwarunkowania predykcji na podstawie nieliniowego modelu przyczynowo-skutkowego przenosimy na prognozowanie na podstawie nieliniowych modeli tendencji rozwojowej. Zawsze jednak predykcja na podstawie modelu tendencji rozwojowej stawia przed nami mniejsze wymagania - nie musimy znać założonych wartości zmiennych objaśniających. Wartość zmiennej czasowej (t = T) po prostu znamy!

Zadanie 2.

Zbudować prognozy przedziałowe wydobycia węgla kamiennego w kopalni (z przykładu tegoż wykładu), na lata 2003 i 2004, przyjmując 90-procentowy przedział ufności.

Mapa strony ekonometria.4me.pl

Copyright © ekonometria.4me.pl 2005-2013. Wszelkie prawa zastrzeżone. Zabrania się kopiowania, redystrybucji, publikacji lub modyfikacji jakichkolwiek materiałów zawartych na stronie internetowej , bez wcześniejszej pisemnej zgody autorów.

Predykcja na podstawie modelu tendencji rozwojowej