Metoda średniej ruchomej

Modele średniej ruchomej służyć mogą zarówno do wygładzania szeregu czasowego jak i  do prognozowania.

Kolejne wartości prognoz wygasłych powstają poprzez obliczanie średniej arytmetycznej dla wybranej liczby elementów i tak np: dla średniej ruchomej trzyelementowej uśredniamy 3 poprzednie obserwacje.

Innym sposobem jest obliczanie średnich dla 3ech obserwacji w okresach t-1,t oraz t+1 zaś prognoza obliczana jest dla momentu t .

Sposób  obliczania prognozy na podstawie modelu średniej ruchomej prostej można wyrazić wzorem:

a)                                                 

gdzie:  -prognoza zmiennej Y wyznaczona naokres t,

       - wartość prognozowanej  okresie i,

       k - stała wygładzania (np. 3 dla średniej trzyelementowej itd)

Aby określić jaka średnia będzie najlepsza obliczamy prognozy wygasłe dla każdej  średniej ruchomej  a następnie obliczamy średni kwadratowy błędu prognozy ex post . Błąd ten oblicza się sumując odchylenia prognoz wygasłych od wartości zmiennej prognozowanej, dzieląc przez n-k (liczna obserwacji minus stała wygładzania) i pierwiastkując .

Można to wyrazić  wzorem:

 b)                                          

Spośród badanych średnich wygrywa ta, która posiada błąd najmniejszy czyli można powiedzieć, iż jest najlepiej dopasowana do danych rzeczywistych szeregu.

Średnia ruchoma prosta ma wadę polegającą na tym, iż  każda z przyjętych do wygładzania obserwacji ma jednakową równą 1 wagę, czyli taki sam udział w szacunku  prognozy.

Lepiej jest nadawać większe wagi obserwacjom nowszym, które są świeższe i mają większy wpływ na prognozę. Wnioskowanie takie, określamy terminem postarzania informacji a  spełnia go model średniej ruchomej ważonej, według którego prognozę oblicza się wg wzoru:

gdzie:

-waga nadana przez prognostę wartości zmiennej prognozowanej w momencie lub okresie i,

 k - stała wygładzania.

                0 <  <  < ... <  ≤ 1       oraz   

Jeśli szacujemy model średniej ruchomej musimy podać stałą wygładzania oraz wagi jakie przyjmujemy.

Wagi możemy przyjmować stosując metodę prób i błędów jednocześnie obserwując błąd prognozy ex-post.

Jeśli chcemy ten proces przyspieszyć warto zapoznać się z funkcją Solver zawartą w Excelu, która daje możliwość znalezienia optymalnego wyniku  przy zadanych warunkach.

Narzędzie to służy do rozwiązywania zadań optymalizacyjnych i może być także wykorzystane w innych modelach jak Holta, Browna i Wintersa gdzie poszukujemy parametrów alfa , beta i gamma w celu najlepszego dopasowania modelu. Szukanie "ręcznie" jest niezwykle pracochłonne i nigdy nie da tak dobrego rezultatu jak Solver. 

Modele średniej ruchomej powinno się stosować gdy zmienna zachowuje sią stabilnie czyli ma wahania przypadkowe ale nie charakteryzuje się wyraźnym trendem lub wahaniami sezonowymi.

Dopuszcza się jedynie wahania przypadkowe i najlepiej niezbyt silne.

Inną wadą modelu średniej ruchomej jest to, iż uwzględnia on tylko k ostatnich obserwacji nie biorąc pod uwagę wszystkich poprzednich, które także mogą oddziaływać na wartość prognozy. J

ednak metoda ta jest powszechnie stosowana ze względu na swoją prostotę i satysfakcjonujące prognozy dla  szeregów bez trendu oraz niskiej zmienności.

Przykład

Prognozy dla średniej ruchomej ważonej obliczamy:

y_t* = prognozowana wartość .

Przyjmę wagi:

w1 =0,01
w2 =0,49
w3 =0,5

ŚREDNIA RUCHOMA 3-ELEMENTOWA ważona

Średni błąd absolutny

MAPE - wartość średnia względnych błędów prognoz

Średni kwadrat błędów prognoz wygasłych

s* - pierwiastek kwadratowy z średniego błędu prognozy

Wykres wartości rzeczywistych i wygładzonych:

ŚREDNIA RUCHOMA 3-ELEMENTOWA

Średni błąd absolutny

MAPE - wartość średnia względnych błędów prognoz

Średni kwadrat błędów prognoz wygasłych

s* - pierwiastek kwadratowy z średniego błędu prognozy

Wykres wartości rzeczywistych i wygładzonych:

Mapa strony ekonometria.4me.pl

Copyright © ekonometria.4me.pl 2005-2013. Wszelkie prawa zastrzeżone. Zabrania się kopiowania, redystrybucji, publikacji lub modyfikacji jakichkolwiek materiałów zawartych na stronie internetowej , bez wcześniejszej pisemnej zgody autorów.

Metoda średniej ruchomej