Analiza harmoniczna

Analiza harmoniczna, polega na budowie modelu w postaci sumy tzw. harmonik, tj. funkcji sinusoidalnych lub cosinusoidalnych o danym okresie. Pierwsza harmonika ma okres równy długości okresu badanego, druga - połowie tego okresu, trzecia - jednej trzeciej okresu itd. Ogólnie, w przypadku n obserwacji liczba wszystkich możliwych harmonik jest równa   Zapis modelu składowej periodycznej szeregu jest następujący:

,

gdzie i to numer harmoniki; , ,  -parametry.

Wielkości parametrów, ,   szacuje się za pomocą metody najmniejszych kwadratów, wykorzystując następujące wzory:

;

,      

,

gdzie , ,  - oceny parametrów , ,  .

Dla ostatniej harmoniki, tzn. o numerze , parametr  jest zawsze równy zeru, parametr  wyznacza się zaś według wzoru:

.

Wielkości amplitud dla poszczególnych harmonik wyznacza się ze

wzoru:

.

Dla ich zlokalizowania na osi czasu, tj. określenia chwili ich wystąpienia, wyznacza się wartości przesunięcia  fazowego , gdzie , zaś  wyznacza się ze wzoru:

Przy przeprowadzaniu analizy harmonicznej należy pamiętać o tym, że opiera się ona na badaniu wahań wokół poziomu średniego [reprezentowanego przez parametr  w modelu pierwszym], nie zaś tendencji rozwojowej. W celu uwzględnienia trendu można zastosować model:

,

gdzie f(t) jest funkcją trendu.

Liczba harmonik, które należy określić, jest tym większa, im dłuższy jest szereg czasowy, na którego podstawie budujemy model. W modelu ujmuje się harmoniki, których udział w wyjaśnieniu wariancji rozpatrywanej zmiennej jest najwyższy. Udział części wariancji zmiennej Y, która jest uwzględniana przez pierwszych   harmonik w ogólnej wariancji, można przedstawić w postaci ilorazu: 

    dla  ,

a przez ostatnią harmonikę:

     dla  ,

gdzie:

   dla 

-oznacza ocenę wariancji zmiennej Y.

 Ponieważ żadne dwie harmoniki nie są ze sobą skorelowane, nie mogą uwzględniać jednej i tej samej części ogólnej wariancji. Oznacza to, ze części ogólnej zmienności Y, które są uwzględniane przez różne harmoniki, można sumować.

Inne modele

Jedną z metod pozwalających na konstrukcje modelu uwzględniającego tendencję rozwojową oraz wahania okresowe jest metoda Kleina. Postać rozpatrywanego przez Kleina modelu jest następująca:

gdzie:

 - funkcja trendu,

  --ta zmienna zero-jedynkowa przyjmująca wartość jeden dla fazy o numerze  oraz zero dla pozostałych faz cyklu,

r - liczba faz cyklu.

Parametry modelu szacuje się metodą najmniej szych kwadratów, metoda prognozowania zjawisk okresowych jest oparta na modelu:

gdzie r jest liczbą faz cyklu.

Parametry modelu  są szacowane metodą najmniej szych kwadratów. Parametr  jest estymowany na podstawie całego szeregu czasowego zmiennej prognozowanej, w scentrowanym układzie współrzędnych. Parametr a jest różny dla każdej fazy cyklu. Jego estymatorem jest

gdzie:

 - ocena parametru ,

b - ocena parametru ,

 -średnia wartość zmiennej prognozowanej w -tej fazie cyklu,

- średnia wartość zmiennej czasowej  w -tej fazie cyklu .

Zbliżona do poprzedniej jest tzw. metoda trendów jednoimiennych. Polega ona na budowie modeli tendencji rozwojowych oddzielnie dla poszczególnych faz cyklu. Jeżeli symbolem r oznaczymy liczbę faz w cyklu, to postać budowanego modelu może być następująca:

gdzie:

 -wartość zmiennej prognozowanej w momencie lub okresie t w i-tej fazie cyklu,

 - funkcja trendu dla -tej fazy cyklu.

W przypadku przyjęcia liniowej postaci funkcji trendu zapis modelu jest następujący:

Szacunku parametrów tego modelu dokonuje się klasyczną metodą najmniejszych kwadratów.

Mapa strony ekonometria.4me.pl

Copyright © ekonometria.4me.pl 2005-2013. Wszelkie prawa zastrzeżone. Zabrania się kopiowania, redystrybucji, publikacji lub modyfikacji jakichkolwiek materiałów zawartych na stronie internetowej , bez wcześniejszej pisemnej zgody autorów.

Analiza harmoniczna